Las Matemáticas en la Administración: 3. Derivadas de Orden superior y Derivación Implícita.

3.1 Derivadas de Orden Superior:

La segunda, tercera, cuarta derivada, etc... son conocidas como derivadas de orden superior y al igual que el concepto de primera derivada se requiere tener un conocimiento de las condiciones que debe satisfacer las funciones para ser derivables.

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior

1ra Derivada

${f}'_{(x)}$ ; $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ ; $D_x[f_{(x)}]$ ; $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ ; $\dot{y}$ ; ${y}'$

2da Derivada

${f}''_{(x)}$ ; $\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}$ ; $D_{xx}[f_{(x)}]$ ; $\frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} x^2}$ ; $\ddot{y}$ ; ${y}''$

3ra Derivada

${f}'''_{(x)}$ ; $\frac{\mathrm{d^3} }{\mathrm{d} x^3}$ ; $D_{xxx}[f_{(x)}]$ ; $\frac{\mathrm{d^3} y}{\mathrm{d} x^3}$ ; $\dddot{y}$ ; ${y}'''$

n-Derivada

${f}^n_{(x)}$ ; $\frac{\mathrm{d^n} }{\mathrm{d} x^n}$ ; $\frac{\mathrm{d^n} y}{\mathrm{d} x^n}$ ; ${y}^n$

Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.

Ejemplo #1

Encontrar la 2da derivada de
$f(x)= 2x^{4}-3x+3$
Encontramos la 1ra derivada.
$f'(x)= 8x^{3}-3$
derivamos f'(x).

Ejemplo # 2

$f=(3s+5)^8$

$f'=8(3s+5)^7$

$f''=56(3s+5)^6$

$f'''=336(3s+5)^5$

$f^4=1680(3s+5)^4$

$f^5=6720(3s+5)^3$

$f^6=20160(3s+5)^2$

$f^7=40320(3s+5)$

$f^8=40320 ( 3) = 120,960$

$f^9= 0$

Ejemplo # 3

$f=2x^3 - 4x^2 + 7x - 8$

$f'=6x^2 - 8x + 7$

$f''=12x - 8$

$f'''=12$

$f^4=0$

Ejemplo # 4

$f=x^5 + x^2$

$f'=5x^4 + 2x$

$f''=20x^3 + 2$

$f'''= 60x^2 + 0$

$f^4=120x$

$f^5=120$

$f^6=0$

Ejemplo # 5

$f=5x^3 + 2x^2 + x$

$f'=15x^2 + 4x + 1$

$f''=30x + 4 + 0$

$f'''= 30 + 0$

$f^4=0$

3.2 Derivación Implícita:

Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x.En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita.

En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita.

Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.