Las Matemáticas en la Administración: UNIDAD I : Limite

I. Limites y definición

1.1 Limites:

La noción de límite de una función en un numero (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda

x se acerca al 1 por la derecha

x	0,9	0,99	0,999	1	1,001	1,01	1,1
f ( x )	2,71	2,9701	2,997001	¿?	3,003001	3,0301	3,31

f (x) se acerca al 3

La figura 1 es la gráfica de la función

y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función

menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos

1.2. Definición:

Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como

, si para cualquier

, no importa que tan pequeña sea, existe una

tal que

entonces

Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia

puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que

exista.

Ejemplos 1.

1) Utilicemos la definición para demostrar que

Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración.

Se debe demostrar que para cualquier

existe una

tal que

entonces

(A)

entonces

Entonces, si tomamos

se cumple la proposición (A). Esto demuestra que

Tomando

luego, para esos valores de

los números x que pertenecen al intervalo abierto

verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:

entonces

Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.

2) Demostrar usando la definición de límite que

Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto,