Las Matemáticas en la Administración: UNIDAD II: LA DERIVA

1. La derivada, definición, Interpretación Geométrica. Ecuaciones de la Tangente y Normal a una curva.

1.1 La derivada.

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta funciónen un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

1.2 Definición:

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad $y\,$ cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad $x\,$ .

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.

En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.

En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto $P\,$ de la función por el resultado de la división representada por la relación $\frac{dy}{dx}$ , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto $P\,$ de la función. Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto $P\,$ , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de $\frac{dy}{dx}$ es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.

En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto $a\,$ se define como sigue:

$f'(a)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ ,

Si este límite existe, de lo contrario,

f'

no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.

También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:

$f'(a)=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ ,

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de $a\,$ . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.

No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.

Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada de la función $f\,$ respecto al valor $x\,$ en varios modos:

$f'(x) \,$ {Notación de Lagrange}

se lee «efe prima de equis»

$\mathrm D_x f \,$ o $\partial_x f\,$ {Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}

se lee « $d\,$ sub $x\,$ de $f\,$ », y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.

$\dot{x}$ { Notación de Newton}

se lee «punto $x\,$ » o « $x\,$ punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.

$\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}$ , $\frac {\mathrm df}{\mathrm dx}$ ó $\frac {\mathrm d}{\mathrm dx} f(x)$ {Notación de Leibniz}

se lee «derivada de $y\,$ ( $f\,$ ó $f\,$ de $x\,$ ) con respecto a $x\,$ ». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de $f\,$ en el punto

a

, se escribe:

$f^\prime(a)$ para la primera derivada,

$f^{\prime\prime}(a)$ para la segunda derivada,

$f^{\prime\prime\prime}(a)$ para la tercera derivada,

$f^{(n)}(a)\,$ para la enésima derivada (

n > 3

). (También se pueden usar números romanos).

Para la función derivada de $f\,$ en $x\,$ , se escribe $f^\prime(x)\,$ . De modo parecido, para la segunda derivada de $f\,$ en $x\,$ , se escribe $f^{\prime\prime}(x)\,$ , y así sucesivamente.

La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de $f\,$ , se escribe:

$\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}.$

Con esta notación, se puede escribir la derivada de

f

en el punto

a

de dos modos diferentes:

$\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\right)(a).$

Si $y=f(x)\,$ , se puede escribir la derivada como

$\mathrm dy \over \mathrm dx$

Las derivadas sucesivas se expresan como

$\frac{\mathrm d^n\left(f(x)\right)}{\mathrm dx^n}$ o $\frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}$

para la enésima derivada de $f\,$ o de

y

respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

$\frac{\mathrm d \left(\frac{\mathrm d \left( \frac{\mathrm d \left(f(x)\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}$

la cual se puede escribir como

$\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^3 \left(f(x)\right) = \frac{\mathrm d^3}{\left(\mathrm dx\right)^3} \left(f(x)\right).$

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» parecen cancelarse simbólicamente:

$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dy}{\mathrm du} \cdot \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}.$

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.

La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

$\dot{x} = \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = x^\prime(t)$

$\ddot{x} = x^{\prime\prime}(t)$

y así sucesivamente.

Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.

1.3 Interpretación Geométrica

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

Dada la parábola f(x) = x², hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

1.4 Ecuaciones de la tangente a una curva

Desde la escuela primaria se sabe que la recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta que intercepta a la circunferencia en un solo punto, pero lo cierto es que tal definición no es suficiente para una curva en general porque en otros casos la recta tangente puede llegar a interceptar a la curva en uno o más puntos, además de ser inclinada, horizontal o vertical.

Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto se emplea el concepto de límite

Ecuación de la recta tangente

Sea f una función continua en xo. La ecuación de la recta tangente a la curva en xo es:

i) y = f '(x_o) . x + b, si la función es derivable en xo.
ii) x=x_o, si la derivada, cuando x tiende a x_o por la izquierda y por la derecha, es más infinito (o menos infinito).

1. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a f(x)=x³+1 en x_o=0.5.

1. Derivamos la función f '(x)=3x².

2. Evaluamos la derivada en 0,5, f '(0.5)=m_t=0.75.

3. Calculamos la ordenada de x_o=0.5 que es y_o=f(xo)=1.13.

4. Sustituimos los valores dados en la ecuación de la recta tangente a la curva, es decir en y_o=m_tx_o + b, para obtener b=0.75.

5. Escribimos la ecuación de la recta tangente: y = 0,75 x + 0,75

2. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a y= sen x en x_o=pi/2.

1. Derivamos la función y' = cos x.

2. Evaluamos la derivada en pi/2 para obtener m_t= 0

3. Calculamos la ordenada de x_o=pi/2, que es y_o=1.

4. Calculamos la ordenada en el origen de la recta tangente, b=1.

5. Escribimos la ecuación de la recta tangente: y=1

3. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la siguiente curva en el punto de abscisa cero.

1. La derivada

2. Se observa que el dominio de la función es D=R, pero que la primera derivada no está definida en cero.

3. Analizando la derivada cuando x tiende a 0 por la izquierda y derecha se sabe que y' es más infinito en ambos casos, entonces la ecuación de la recta tangente es vertical y su ecuación: x=0

4. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x²+ y²= 5 en x_o= -2.

1. La derivada es y' = -(x/y) (Obtenerla derivando la función implícitamente).

2. La ordenada para x_o= - 2 es y_o= -1.

3. La derivada evaluada en (-2,1) es m_t= - 2.

4. La ordenada en el origen de la recta tangente b= - 5.

5. La ecuación de la recta tangente: y = - 2x- 5

1.5 Ecuaciones de la Normal a una curva

Si se traza una perpendicular a la recta tangente se obtiene la recta normal. Los gráficos muestran la recta tangente y la normal a la curva en un punto dado.

Recta normal

La recta normal a la curva en el punto de abscisa x_o es la recta perpendicular a la tangente a la curva en el mismo punto.

Pendiente y ecuación de la recta normal

i) Si la pendiente de la recta tangente es m_t=f '(x_o), la pendiente de la recta normal satisface la relación m_t . m_n = -1. y la ecuación de la recta normal:

Yn = - 1/ f ´ (Xo)

ii) Si la recta tangente es vertical, la pendiente de la recta normal es m_n=0, y la ecuación de la recta normal:

y = f(xo)

5. Cálculo de la ecuación de la recta normal a y=x³+1 en x_o=0,5.

1. Derivamos la función, y'=3x².

2. Evaluamos la derivada en y'(0.5) = m_t= 0.75.

3. Calculamos la pendiente de la recta normal m_n= - 1.33.

4. Calculamos la ordenada de x_o=0.5 que es y_o=1.13.

5. Calculamos la ordenada en el origen de la recta normal, b=1.79.

6. Escribimos la ecuación de la recta normal:

y_n = -1.33 x +1.79

6. Cálculo de la ecuación de la recta normal a y= sen x en x_o=pi/2.

1. Derivamos la función, y' = cos x.

2. Evaluamos la derivada en pi/2 para obtener m_t= 0.

3. Calculamos la pendiente de la recta normal, m_n= 1/0 = infinito. La recta normal forma un ángulo de 90º con el eje de las abscisas, es decir se trata de una recta vertical de ecuación

x= pi/2

7. Cálculo de la ecuación de la recta normal a la siguiente curva en el punto de abscisa cero.

1. La derivada

2. La ecuación de la recta tangente es x=0 (recta vertical

3. La ecuación de la recta normal es y=f(xo), es decir

y=0

8. Cálculo de la ecuación de la recta normal a la circunferencia x_o= -2 y con pendiente positiva.

x²+ y²= 5

1. La derivada es y' = -(x/y) (se obtiene derivando la función implícita).

2. La ordenada para x_o= -2 es y_o= -1.

3. La derivada evaluada en (-2,-1) es m_t= - 2.

4. La pendiente de la recta normal, m_t = 0.5.

5. La ordenada en el origen de la recta normal b=0.

6. La ecuación de la recta normal:

y= 0.5x

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