2. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

2.1 Teorema de Rolle:

El teorema de Rolle dice lo siguiente:

Si:

•  es una función continua definida en un intervalo cerrado 
•  es derivable sobre el intervalo abierto 
• 

Entonces: existe al menos un número  perteneciente al intervalo  tal que .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

2.2 Teorema del Valor Medio:


En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

Si:

• f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
• f es derivable sobre el intervalo (a, b)

Entonces: existe al menos un número c en el intervalo (a, b) tal que :

Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.

Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.
Sea p la pendiente de la cuerda: p = (f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la función g(x) = f(x) - p·x. Entonces g(b) - g(a) = f(b) - p·b - (f(a) - p·a) = f(b) - f(a) - p(b - a) = f(b) - f(a) -(f(b) - f(a)) = 0, y g como f, es continua sobre [a, b] y derivable en su interior.
Según el teorema anterior, existe un c en (a, b) tal que g '(c) = 0; pero esto se escribe f ' (c) = p.

Este teorema se escribe también, con las mismas hipótesis: f(b) = f(a) + f '(c)(b-a) lo que deja entrever el teorema de Taylor-Young:
f(b) = f(a) + (b-a)f '(a) + ... + (b-a)ⁿ/n! · f⁽ⁿ⁾(c), con f n veces derivable sobre (a, b).