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2. Diferenciales de Orden Superior. Diferenciación Parcial.

2.1 Diferenciales de Orden Superior:
Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma

En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar
El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá la solución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias
Ejemplo –
Las siguientes ecuaciones tiene la forma
Donde "Y" es una función de "y" únicamente
Lo anterior es valido por 
El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables "x" e "y" quedan separadas. Y podemos integrar otra vez.

2.2 Diferenciación Parcial: 

 Para mayor información visiten: http://es.scribd.com/doc/55373257/18/Diferenciacion-Parcial

UNIDAD IV: DIFERENCIALES Y APROXIMACIÓN

1.1 Diferenciales. Definición e interpretación geométrica 


Este artículo habla sobre la definición tradicional del diferencial, para otros usos dentro de la matemática vea diferencial (cálculo, desambiguación), para usos más generales vea diferencial (desambiguación)

En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial queda definido por la expresión
dy = \frac{dy}{dx}\, dx
como si la derivada dy/dx representara el cociente entre la cantidad dy y la cantidad dx. Se puede también expresar como
df(x) = f'(x)\,dx.
El significado preciso de estas expresiones depende del contexto en las cuales se las utilice y el nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matematicas rigurosas modernas, las cantidades dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar una significación geométrica particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significancia analítica si el diferencial es considerado como una aproximación lineal del incremento de la función. En aplicaciones físicas, a menudo se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).

Definición
El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera. El diferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y Δx dada por:
df(x, \Delta x) \stackrel{\rm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.
Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad
df(x) = f'(x) \, dx
se mantiene.


1.2 Interpretación Geométrica:

Interpretación geométrica del diferencial de una función en un punto.
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento  \Delta x \, que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por x \, y \Delta x \,.



5. Concavidad y Punto de Inflexión.





(fig.1)
(fig.2)
(fig.3)

4. Criterios de la Primera y Segunda Derivada

4.1 Criterios de la Primera Derivada



La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

1.-  es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)
2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;
3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.



De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo  basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.
Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:


la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.


4.2 Criterios de la Segunda Derivada:
Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)




Definición.
Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c  y además:

a)      es una función continua en el intervalo abierto (b,c)
b)      es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada  es creciente en ese  intervalo.








Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos

Sea una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

a).-  Si f´(a)=0   y     f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.
b).- Si f´(a)=0    y    f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

3. Funciones Creciente y Decreciente

Función estrictamente creciente en un intervalo

Una función   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) 
   es estrictamente creciente en un intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
 , si para dos valores cualesquiera del intervalo,   
x_1
   y   
x_2
 , se cumple que:



\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2  \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
</p>
<pre> \, - \, x_1} > 0
</pre>
<p>



Imagen:funcion4.png

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:


x_2 > x_1 \Rightarrow
\mathrm{f} \left( \, x_2  \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1  \, \right)

Una función   
f
   es estrictamente creciente en el punto de abcisa   
x \, = \, a
   si existe algun número positivo   
h
   tal que   
\mathrm{f}
</p><p>   es estrictamente creciente en el intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
</pre>
<p>\right)
.

De esta esta definición se deduce que si   
\mathrm{f}
   es derivable en   
x \, = \, a
   y   
f
   es estrictamente creciente en el punto de abcisa   
x \, = \, a
 , entonces   
\mathrm{f}^\prime \left( \, a  \, \right) \ge 0
.

Función creciente en un intervalo

Una función   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) 
   es creciente en un intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
 , si para dos valores cualesquiera del intervalo,   
x_1
   y   
x_2
 , se cumple que:


\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2  \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
</p>
<pre> \, - \, x_1} \ge 0
</pre>
<p>

Función estrictamente decreciente en un intervalo
Una función   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) 
   es estrictamente decreciente en un intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
 , si para dos valores cualesquiera del intervalo,   
x_1
   y   
x_2
 , se cumple que:


\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2  \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
</p>
<pre> \, - \, x_1} < 0
</pre>
<p>



Imagen:funcion5.png

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

x_2 > x_1 \Rightarrow
\mathrm{f} \left( \, x_2  \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1  \, \right)

Una función   
f
   es estrictamente decreciente en el punto de abcisa   
x \, = \, a
   si existe algun número positivo   
h
   tal que   
\mathrm{f}
</p><p>   es estrictamente decreciente en el intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
</pre>
<p>\right)
.

De esta esta definición se deduce que si   
\mathrm{f}
   es derivable en   
x \, = \, a
   y   
f
   es estrictamente decreciente en el punto de abcisa   
x \, = \, a
 , entonces   
\mathrm{f}^\prime \left( \, a  \, \right) \le 0
.

Función decreciente en un intervalo

Una función   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) 
   es decreciente en un intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
 , si para dos valores cualesquiera del intervalo,   
x_1
   y   
x_2
 , se cumple que:


\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2  \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
</p>
<pre> \, - \, x_1} \le 0
</pre>
<p>