Derivada de la función seno
A partir de la definición de la derivada de una función f(x):
Por tanto si f(x) = sin(x)
A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir
Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser
Reordenando los términos y el límite se obtiene
Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
El valor de los límites
Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),
Derivada de la función coseno
Si f(x) = cos(x)
A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir
Operando se obtiene
Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
El valor de los límites
Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),
Derivada de la función tangente
A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, , se puede escribir como
y , entonces la regla dice que la derivada de es igual a:
A partir de la identidad trigonométrica
haciendo:
sustituyendo resulta
operando
y aplicando las identidades trigonométricas
resulta
Derivada de la función arcoseno
Tenemos una función , que también se puede expresar como . Derivando implícitamente la segunda expresión:
Tenemos además que , i que . Sustituyendo, tenemos la fórmula final:
Ejemplo #1
y = csc(x)cot(x)
y' = ( − csc(x)csc2(x)) − cot(x)csc(x)cot(x)
y' = − csc(x)csc2(x) − cot2(x)csc(x)
y' = − csc3(x) − cot2(x)csc(x) asi es
y' = ( − csc(x)csc2(x)) − cot(x)csc(x)cot(x)
y' = − csc(x)csc2(x) − cot2(x)csc(x)
y' = − csc3(x) − cot2(x)csc(x) asi es
Ejemplo #2
y = 3sen(x) − 2cos(x)
y' = 3cos(x) + 2sen(x)
y' = 3cos(x) + 2sen(x)
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