Las Matemáticas en la Administración: 4. Derivada de una Función Compuesta. (Regla de la Cadena)

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción de la regla

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicadopor la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si $f\,$ es diferenciable en $x\,$ y $g\,$ es una función diferenciable en $f(x)\,$ , entonces la función compuesta $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ es diferenciable en $x\,$ y

$(g \circ f)'(x) = \frac {d(g \circ f)} {dx} = \frac {d \; g(f(x))} {dx} = \frac {d} {dx} \; g(f(x)) = g'(f(x))\cdot f'(x)$

Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

$\frac {dg}{dx} = \frac {dg} {df} \frac {df}{dx}$

donde $\frac {dg} {df}$ indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Demostración de la regla de la cadena

Sea

$h\left(x\right) = \left(f \circ g\right)\left(x\right).$

Esto es entonces

$h\left(x\right) = f\left(g\left(x\right)\right).$

Aplicando la definición de derivada se tiene

$\frac {\text{d}h}{\text{d}x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}.$

Donde queda

$= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}.$

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre $g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)$

$= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}.$

$= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)} \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{\Delta x}.$

$= \frac{\text{d}f}{\text{d}g}\cdot\frac{\text{d}g}{\text{d}x}.$

Ejemplos de aplicación

Ejemplo conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Ejemplo algebraico

Por ejemplo si

y = f (u)

es una función derivable de

u

y si además

u = g (x)

es una función derivable de

x

entonces

y = f (g (x))

es una función derivable con:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

o también

$\frac{d}{dx} [f(g(x))]=f '(g(x))\cdot g'(x)$

Ejemplo 1

$y = \ln {u} \,$

$u = \cos {x} \,$

y queremos calcular:

$\frac{dy}{dx} \,$

Por un lado tenemos:

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} \,$

$\frac{du}{dx} = - \sin{x} \,$

si:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

entonces:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (- \sin{x}) = \frac{- \sin{x}}{u} = \frac{- \sin{x}}{\cos {x}} = -\tan{x}$

Si definimos como función de función:

$y = \ln {u} \,$

$u = \cos {x} \,$

resulta que:

$y = \ln ({\cos {x}}) \,$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{x}} \cdot (-\sin{x}) = \frac{-\sin{x}}{\cos{x}} = -\tan{x}$

con el mismo resultado.

Ejemplo 2

Tenemos $f(x)=9sen^{16}\left(\frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}\right)$ la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

$y = 9a; a=b^{16}; b=sen c; c=\frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}$ , cuyas derivadas serían:

$y' = 9; a' = 16b^{15}; b'=cos c; c'=\frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}$

Con la regla de la cadena, esto sería:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{da}\cdot\frac{da}{db}\cdot\frac{db}{dc}\cdot\frac{dc}{dx}$

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

$\frac{dy}{dx}=y'\cdot a'\cdot b'\cdot c'$

$\frac{dy}{dx}=9\cdot 16b^{15}\cdot cos c\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}$

Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

$\frac{dy}{dx}=9\cdot 16sen^{15}c \cdot cos c\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}$

Y luego se obtiene la derivada.

$\frac{dy}{dx}=9\cdot 16sen^{15} \frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8} \cdot cos \frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}$

Derivadas de orden superior

Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Algunas de ellas son:

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$

$\frac{d^2 f}{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}$

$\frac{d^3 f}{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}$

$\frac{d^4 f}{d x^4} =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\} + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}$

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