Las Matemáticas en la Administración: 2. Limites laterales

2. Limites laterales

Obsérvese que sobre la recta real estamos en condiciones de acercarnos a una valor particular de x bien sea por valores más grandes (a la derecha) o por valores más pequeños (a la izquierda). Debido a que existen funciones que no se comportan del mismo modo a la izquierda y a la derecha de un valor dado, el concepto de límite lateral puede ayudarnos a dilucidar este tipo de comportamiento. Consideremos por ejemplo la función parte entera de x o escalón unitario (usada frecuentemente para exponer la idea de límites laterales), denotada por E(x) y que se define de la siguiente forma

E(x) = [x], donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Consideremos ahora un valor entero particular, por ejemplo 1. En la medida en que nos acercamos a 1 por la izquierda nos damos cuenta que los sucesivos valores de E(x) son iguales a cero, y en la medida en que nos acercamos a 1 por la derecha los valores son iguales a uno. La idea de acercarnos sucesivamente a un valor es la que introduce la noción de límite lateral. A continuación introduciremos las nociones formales de los límites laterales por izquierda y por derecha.

Límite por la derecha

El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ, entoces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

$\lim_{x \to a^+}f(x)= L$

Límite por la izquierda

El límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

$\lim_{x \to a^-}f(x)= L$

TEOREMA Existe el limite si y solo si los dos limites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden

Nota:aunque también es valido si consideramos que le limite vale +∞ o -∞ en lugar de 1.

EJEMPLO

Consideremos la función

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left\{ <pre> \begin{array}{ll} x^2 & , \quad \text{ si } x > 2 \\ 2 \cdot x - 1 & , \quad \text{ si } 2 \ge x \end{array} </pre> \right.$